极大似然估计的原理

极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一种重要的统计技巧，广泛应用于参数估计中。它的核心想法是通过选择一组参数，使得在这些参数下，观测到的数据的概率（即似然）最大化。这篇文章小编将详细探讨极大似然估计的原理及其应用。

基本概念

在进行极大似然估计时，需要一组观测数据 ( X = (x_1, x_2, ldots, x_n) )，这些数据是由某个统计模型生成的，该模型包含一些未知参数 ( theta )（例如，正态分布的均值和标准差）。极大似然估计的目标是通过选择最优的参数 ( hattheta )，使得在这些参数下观测数据的似然函数最大。

似然函数

在统计学中，似然函数 ( L(theta | X) ) 是在给定数据 ( X ) 的情况下，参数 ( theta ) 的概率密度（或质量）函数的乘积。对于独立同分布的观测数据，似然函数通常表示为：

[

L(theta | X) = P(X | theta) = prod_i=1^n P(x_i | theta)

]

其中 ( P(x_i | theta) ) 是在给定参数 ( theta ) 下观测到 ( x_i ) 的概率。

对数似然函数

为了简化计算，通常使用对数似然函数（log-likelihood）。由于对数函数是单调的，最大化似然函数和最大化对数似然函数是等价的。对数将乘积转换为和，使得计算更加简便：

[

log L(theta | X) = sum_i=1^n log P(x_i | theta)

]

极大似然估计的步骤

1. 构造似然函数：根据给定的概率模型和数据，构造出似然函数 ( L(theta | X) )。

2. 求对数似然函数：通常为了简化计算，取似然函数的对数，得到对数似然函数。

3. 最大化似然函数：对对数似然函数求参数 ( theta ) 的导数，找到使得对数似然函数最大的 ( hattheta )。

4. 求解参数：通过求导和求解方程得到最优参数估计 ( hattheta )。

举例：正态分布的极大似然估计

假设我们有一组从正态分布中独立抽取的样本数据 ( X = (x_1, x_2, ldots, x_n) )，我们希望估计正态分布的均值 ( mu ) 和标准差 ( sigma )。

正态分布的概率密度函数为：

[

P(x | mu, sigma) = frac1sigma sqrt2pi expleft( -frac(x – mu)^22sigma^2 right)

]

似然函数

似然函数可以表示为：

[

L(mu, sigma | X) = prod_i=1^n frac1sigma sqrt2pi expleft( -frac(x_i – mu)^22sigma^2 right)

]

对数似然函数

对数似然函数为：

[

log L(mu, sigma | X) = -n log(sigma sqrt2pi) – frac12sigma^2 sum_i=1^n (x_i – mu)^2

]

最大化对数似然

对于 ( mu ) 和 ( sigma ) 分别求偏导数并令其为零，可以得到最大似然估计的解。结局为：

– 均值 ( hatmu = frac1n sum_i=1^n x_i )（即样本均值）

– 标准差 ( hatsigma = sqrtfrac1n sum_i=1^n (x_i – hatmu)^2 )（即样本标准差）

拓展资料

极大似然估计是一种强大且常用的估计技巧，广泛应用于统计学和机器进修领域。通过最大化似然函数，极大似然估计能够提供准确的参数估计，尤其在数据量足够大的情况下，效果尤为显著。领悟极大似然估计的原理，对于深入进修统计模型和数据分析具有重要意义。